编号：088                               精编【2012-2015】                           彭龙升
向量的数量积运算
Ⅰ.向量与向量的运算回顾：
1.每种运算都是一种"游戏"，"游戏"必然有它的"规则"规则是人定的，为什么这样定？肯定有它的实际意义
2.不同的运算符号标志代表不同的向量运算
"+"代表一种    ▲   运算.
　　　　　　　　　　　　　"-" 代表一种    ▲    运算.
                                                   "." 代表一种    ▲    运算.
3.运算意义生活体验：
 
          

1．实数与向量的积的定义：
 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
   1）；
   2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
1）（结合律）；
2）（第一分配律）；      3）（第二分配律）．
Ⅱ.新知讲授:
1．向量的夹角：
　　已知两个向量和（如图2），作，，则
 （）叫做向量与的夹角。
　　当时，与同向；
　　当时，与反向；
　　当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2．向量数量积的定义：
　　已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
           说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；
　　 ②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；
　　　③规定，零向量与任一向量的数量积是．
　　　④特别的     
3．向量数量积的意义：

物理中，物体所做的功的计算方法：
 （其中是与的夹角）．
Ⅲ.体验运用:
1.判断下列向量夹角:

2 .已知正的边长为，设，，，求．
解：如图，与、与、与夹角为，
  ∴原式
          ．

3.已知，，，且，求．
解：作，，∵， ∴，
  ∵且，
  ∴中，， ∴，∴，，
　　所以，．
Ⅳ.平面向量的运算律
1． 交换律：  a ?