数学·必修1(苏教版) 

一、 函数的定义域、值域的综合应用

　　　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等的实根，问是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m,3n]，如果存在，求m，n的值；如果不存在，请说明理由．
　　
　　分析：主要考查二次函数的定义域、值域及与方程的结合．
　　解析：∵f(－x＋5)＝f(x－3)，
　　∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝＝1，
　　即－＝1，　①
　　又f(2)＝0，即4a＋2b＋c＝0，　②
　　又∵方程f(x)＝x有两个相等实根，
　　即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个相等的实根．
　　∴Δ＝(b－1)2－4ac＝0，　③
　　由①②③可得：
　　a＝－，b＝1，c＝0.
　　则f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤；
　　故3n≤，即n≤.
　　∴f(x)在[m，n]上单调递增，
　　假设存在满足条件的m，n，则：
　　
　　?m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4.
　　又m＜n≤，∴m＝－4，n＝0.
　　即存在m＝－4，n＝0，满足条件．
　　点评：求二次函数的值域一般采用配方法，结合其图象的对称性．解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决．21教育网
　　
　　
　　?变式训练
　　1．若函数f(x)的定义域和值域都是[a，b]，则称[a，b]为f(x)的保值区间，求函数f(x)＝(x－1)2＋1的保值区间．21.com
　　
　　
　　
　　解析：①当a<b≤1时，f(x)递减，∴即无解；②当a<1，b>1时，定义域里有1，而值域里没有1，∴不可能；③当1≤a<b时，f(x)为增函数，故?a＝1，b＝3，故保值区间为[1,3]．21·世纪*教育网
　　
　　

二、 函数单调性和奇偶性的综合应用

　　　奇函数f(x)是R上的减函数，对于任意实数x，恒有f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0成立，求k的取值范围．2-1-c-n-j-y
　　
　　分析：已知条件中给出函数不等式，故要考虑利用奇函数性质和