多题一法专项训练(三)　待定系数法

方法概述
适用题型

　　要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法．其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)＝g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)＝g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.
　　在高考中待定系数法应用广泛，常见的类型有以下几种：
(1)函数解析式的求法；
(2)圆的方程的求法；
(3)圆锥曲线方程的求法；
(4)等差、等比数列的基本运算；
(5)已知三角函数性质求参数.


一、选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点(－，－3)，则双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1　　　　　　 B．x2－＝1
C．－＋y2＝1  D．－＋y2＝1
解析：选C　设所求的双曲线方程为y2－4x2＝k，因为双曲线过点(－，－3)，所以(－3)2－4(－)2＝k，得k＝1，所以双曲线的方程为－＋y2＝1.21教育网
2．在等差数列{an}中，a1＝1，a4＝10，若ak＝148，则k等于(　　)
A．47  B.48
C．49  D．50
解析：选D　设等差数列的公差为d，∵a1＝1，a4＝10，∴d＝3.
∴148＝1＋3(k－1)，∴k＝50.
3．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于(　　)
A.  B.
C．2  D．9
解析：选C　∵x<1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.
由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，
∴4a＝4＋2a，解得a＝2.
4．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)
A．－3  B.－5
C．6  D．5
解析：选C　由得a＝－3，b＝－2.
∴ab＝6.
5．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，当(λm＋n)⊥(2n＋m)时，实数λ的值为(　　)
A.  B.－
C．－  D．
解析：选C　由已知得|m|＝，|n|＝，m·n＝11，
∵(λm＋n)⊥(2n＋m)，
∴(λm＋n)·(2n＋m)＝λm2＋(2λ＋1)m·n＋2n2＝0，
即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－.
6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝(　　)


A．－  B.－
C.  D．
解析：选C　由题意可知，
此函数的周期T＝2(－)＝，
故＝，∴ω＝3，f(x)＝Acos(3x＋φ)．
f＝Acos＝Asin φ＝－.又由题图可知
f＝Acos＝0，∴f(0)＝Acos φ＝.
二、填空题
7．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.
解析：因为f(－x)＝－x(e－x＋aex)，f(x)是偶函数，
所以－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，
ex＋ae－x＋e－x＋aex＝0，
(1＋a)ex＋(1＋a)e－x＝0，
(1＋a)(ex＋e－x)＝0，
所以1＋a＝0，即a＝－1.
答案：－1
8．已知圆经过原点，圆心在第三象限且在直线y＝x上，若圆在y轴上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．版权所有
解析：依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，
令x＝0，得(y－a)2＝a2，此时在y轴上截得的弦长为2|a|，由已知得2|a|＝2，故a＝±1，由圆心在第三象限，得a＝－1，于是，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
9．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－)2＋y2＝4相切，则该双曲线的离心率等于________．21cnjy.com
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，
∵渐近线与圆(x－)2＋y2＝4相切，
∴＝2，
∴b2＝4a2，
c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2.
e＝＝.
答案：
10．设a是实数，且＋是实数，则a＝________.
解析：由＋＝＝是实数得，a＋1＝0，a＝－1.
答案：－1
三、解答题
11．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
解：(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为
an＝a1＋(n－1)d，d≠0.
由a＋a＝a＋a知2a1＋5d＝0.①
又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②
由①②可得a1＝－5，d＝2.
所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝na1＋d＝n2－6n.
(2)因为＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数．又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.21·cn·jy·com
经检验，符合题意的正整数只有m＝2.
12．一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．2·1·c·n·j·y
解：如图所示，设动圆半径为R，已知圆的圆心分别为O1，O2，将两圆方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，【来源：21·世纪·教育·网】
故O1(－3,0)，r1＝2；O2(3,0)，r2＝10.
当⊙M与⊙O1外切时，有|O1M|＝R＋2，①
当⊙M与⊙O2内切时，有|O2M|＝10－R，②
将①②两式的两边分别相加，得|O1M|＋|O2M|＝12，
又|O1O2|＝6，所以|O1M|＋|O2M|>|O1O2|，
由椭圆的定义可知，动圆圆心M的轨迹是一个以O1，O2为焦点，长轴长为12的椭圆．
设其方程为＋＝1(a>b>0)，
则有解得
故椭圆方程为＋＝1.
所以动圆圆心的轨迹方程是＋＝1，其轨迹是一个以O1(－3,0)，O2(3,0)为焦点，长轴长为12的椭圆．21·世纪*教育网
13．(2013·武汉模拟)已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在y轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：www-2-1-cnjy-com
x
0
－1

4

y
－2

－2
1

(1)求C1，C2的标准方程；
(2)设斜率不为0的动直线l与C1有且只有一个公共点P，且与C2的准线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．www.21-cn-jy.com
解：(1)设C1，C2的标准方程分别为：＋＝1(a>b>0)，x2＝2py.
将点(－1，)和(4,1)代入抛物线方程中得到的解相同，
∴2p＝16，
∴点(0，－2)和(，－2)在椭圆上，代入椭圆方程得a＝2，b＝2，故C1，C2的标准方程分别为＋＝1，x2＝16y.2-1-c-n-j-y
(2)设直线l的方程为x＝my＋n，将其代入＋＝1中，消去x并化简整理得，
(1＋2m2)y2＋4mny＋2n2－8＝0.
∵直线l与C1相切，
∴Δ＝16m2n2－4(1＋2m2)(2n2－8)＝0，∴n2＝4(1＋2m2)，
设切点P(x0，y0)，则y0＝－＝－，x0＝my0＋n＝＝.
又直线l与C2的准线y＝－4的交点为Q(n－4m，－4)，
∴以PQ为直径的圆的方程为
(x－)(x－n＋4m)＋(y＋)(y＋4)＝0，
化简并整理得x2－x＋(4m－n)x＋(y＋2)＋(y＋2)2＝0，故存在定点M(0，－2)符合题