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四川省雷波县民族中学高一物理第4章学案3 圆周运动

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一、概念规律题组

1．下列说法正确的是(　　)

A．匀速圆周运动是一种匀速运动

B．匀速圆周运动是一种匀变速运动

C．匀速圆周运动是一种变加速运动

D．做匀速圆周运动的物体所受合外力为零

2．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法，正确的是(　　)

A．向心加速度越大，物体速率变化越快

B．向心加速度越大，物体速度变化越快

C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快

D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

3．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么下列说法错误的是(　　)

A．小球运动的角速度ω＝

B．小球在时间t内通过的路程为s＝t

C．小球做匀速圆周运动的周期T＝

D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R

图1

4．如图1所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为(　　)

A. B.

C. D.

二、思想方法题组

5．如图2所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动．则下列关于A的受力情况的说法中正确的是(　　)

图2

A．受重力、支持力

B．受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力

C．受重力、支持力、摩擦力和向心力

D．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力

6．狗拉着雪撬在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，下图为四个关于雪撬受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图(O为圆心)，其中正确的是(　　)

一、圆周运动的运动学分析

1．匀速圆周运动

(1)特点：线速度的大小不变，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．

(2)性质：是线速度大小不变而方向时刻变化的变速曲线运动，是加速度大小不变而方向时刻改变的变加速曲线运动．

(3)向心加速度和向心力：仅存在向心加速度．向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．

(4)质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．

2．传动装置特点

(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同．

(2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．

(3)在讨论v、ω、r三者关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系．

【例1】 (宁夏理综高考.30)如图3所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是(　　)

图3

A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动

C.从动轮的转速为n D.从动轮的转速为n

[规范思维]

图4

[针对训练1]　如图4所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：

(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；

(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；

(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.

二、圆周运动中的动力学问题分析

1．向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．

2．分析下列各情景中的向心力来源

图形

向心力来源

卫星绕地球做

匀速圆周运动

引力

绳拉球在光滑水平面上做匀速圆周运动

拉力(或弹力)

衣服在筒内壁上做匀速圆周运动

壁对衣服的弹力

物体做圆锥摆运动

拉力和重

力的合力

汽车通过拱形桥时

重力和支持

力的合力　

3.圆周运动的分析思路

(1)圆周可看成是牛顿第二定律应用的进一步延伸．将牛顿第二定律F＝ma应用于圆周运动，F就是向心力，a就是向心加速度，即得：F＝man＝m＝mω2R＝mR

(2)基本思路

①明确研究对象．

②分析运动情况：即做什么性质的圆周运动(匀速圆周运动？变速圆周运动？)；确定轨道所在的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向．

③分析受力情况(注意不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，在向心方向求合外力(即选定向心方向为正方向)．

④由牛顿第二定律列方程，根据已知量和要求量选择合适的向心加速度公式．

⑤求解或进行必要的讨论．

图5

【例2】 (2010·山东省泰安市高三第二轮复习质量检测)如图5所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是(　　)

A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向

B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向

C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向

D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向

[规范思维][来源:]

图6

【例3】如图6所示，在光滑的水平面上有两个质量相同的球A和球B，A、B之间以及B球与固定点O之间分别用两段轻绳相连并以相同的角速度绕着O点做匀速圆周运动，如果OB＝2AB，则绳OB与绳BA的张力之比为(　　)

A．2∶1 B．3∶2 C．5∶3 D．5∶2

[规范思维]

[针对训练2]　2009年10月10日，美国空军“雷鸟”飞行表演队在泰国首都曼谷进行了精彩的飞行表演．飞行员驾机在竖直平面内做圆环特技飞行，若圆环半径为1 000 m，飞行速度为100 m/s，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重力的多少倍．(g＝10 m/s2)

【基础演练】

图7

1．如图7所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速转动，下列说法中正确的是(　　)

A．物块处于平衡状态

B．物块受三个力作用

C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘

D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘

图8

2．如图8所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　)

A．a、b和c三点的线速度大小相等

B．a、b和c三点的角速度相等

C．a、b的角速度比c的大

D．c的线速度比a、b的大

图9

3．如图9所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是(　　)

A．螺丝帽的重力与其受到的最大静摩擦力平衡

B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心

C．此时手转动塑料管的角速度ω＝

D．若塑料管的转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动

图10

4．(2011·临汾联考)甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，如图10所示．已知M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为96 N，下列判断中正确的是(　　)

A．两人的线速度相同，约为40 m/s

B．两人的角速度相同，约为2 rad/s

C．两人的运动半径相同，都是0.45 m

D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m

5．(2011·山东泰安模拟)如图11所示，两个啮合齿轮，小齿轮半径为10 cm，大齿轮半径为20 cm，大齿轮中C点离圆心O2的距离为10 cm，A、B分别为两个齿轮边缘上的点，则A、B、C三点的(　　)

图11

A．线速度之比为1∶1∶1

B．角速度之比为1∶1∶1

C．向心加速度之比为4∶2∶1

D．转动周期之比为2∶1∶1

6.如图12所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法正确的是(　　)

图12

A．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为(m＋M)g

B．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为Mg

C．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(m＋M)g

D．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(3m＋M)g

【能力提升】

7．(2011·汕头模考)如图13所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①放在A盘的边缘，钢球②放在B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1.a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a轮、b轮半径之比为1∶2.当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力之比为(　　)

图13

A．2∶1 B．4∶1 C．1∶4 D．8∶1

图14

8．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图14所示，当轻杆木架绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则下列说法中错误的是(　　)

A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动

B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大

C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动

D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动

题号

答案

图15

9．(2010·广东省汕头市模拟考试)如图15所示，细绳一端系着质量m＝0.1 kg的小物块A，置于光滑水平台面上；另一端通过光滑小孔O与质量M＝0.5 kg的物块B相连，B静止于水平地面上．当A以O为圆心做半径r＝0.2 m的匀速圆周运动时，地面对B的支持力FN＝3.0 N，求物块A的速度和角速度的大小．(g＝10 m/s2)

图16

10．(2011·山东青岛月考)如图16所示，一根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18 kg的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的3倍时，细线断开，线断开前的瞬间，线受到的拉力比开始时大40 N，求：

(1)线断开前的瞬间，线受到的拉力大小；

(2)线断开的瞬间，小球运动的线速度大小；

(3)如果小球离开桌面时，速度方向与桌边线的夹角为60°，桌面高出地面0.8 m，求：小球飞出后的落地点距桌边线的水平距离．

学案3　圆周运动

【课前双基回扣】

1．C

2．C　[向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量．]

3．ABD　[由a＝ω2R得ω＝

t时间内的路程s＝vt＝ωRt＝t

T＝＝2π，故知A、B、D正确．]

4．A　[连接轮之间可能有两种类型，即皮带轮或齿轮相互传动和同轴轮传动(各个轮子的轴是焊接的)，本题属于齿轮，同轴轮的特点是角速度相同，皮带轮的特点是各个轮边缘的线速度大小相同，即v1＝ω1r1＝v2＝ω2r2＝v3＝ω3r3，显然A选项正确．]

5．D

6．C　[摩擦力的方向沿切线，F和Ff的合力充当向心力．]

思维提升

1．注意区分匀速直线运动与匀速圆周运动的不同．匀速直线运动是平衡态，加速度为零，所受合力为零；匀速圆周运动是非平衡态，速度方向在变化，一定有加速度，也一定受力的作用．

2．向心力是效果力，是物体实际所受性质力的分力或合力，在分析物体所受力的个数时，不应分析向心力．

【核心考点突破】

例1 BC　[因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动而转动，所以从动轮做逆时针转动；由于通过皮带传动且转动过程中皮带不打滑，皮带与轮边缘的线速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2得，从动轮的转速为n2＝.答案为B、C.]

[规范思维]　分析传动问题要抓住关键的两点：

(1)同一轮轴上的各点角速度相同；(2)皮带不打滑(或齿轮传动)时，轮边缘各点的线速度大小相同．这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论．

例2 BD　[圆周运动，向心方向一定受力．匀速圆周运动，切向方向不受力；变速圆周运动，切向方向一定受力．加速沿a方向，减速沿a反方向．摩擦力即为向心方向和切向方向这两个方向上受到的力的合力．由此可判断B、D正确．]

[规范思维]　(1)首先确定物体做什么性质的圆周运动：匀速圆周运动，合外力指向圆心；非匀速圆周运动，合外力有两个分力：沿半径指向圆心方向的合外力提供向心力，改变物体的速度方向；沿切线方向的分力产生切向加速度，改变速度的大小．(2)再根据合加速度的方向判断静摩擦力的方向．

例3 C　[设AB段长为l，分别对A、B受力分析如图所示

由牛顿第二定律得

FOB－FAB＝m·2lω2①

FBA＝m·3lω2②

由牛顿第三定律知FAB与FBA大小相等

联立①②解得：FOB＝5mlω2，FAB＝3mlω2]

[规范思维]　通过此题进一步强化应用牛顿第二定律解题的思路：明确研究对象；隔离物体进行受力分析；明确圆心及半径；应用牛顿第二定律列方程．正确的进行受力分析仍是解题的关键．

[针对训练]

1．(1)2∶2∶1　(2)1∶2∶1　(3)2∶4∶1

解析　(1)令vA＝v，由于转动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vc＝v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.

(2)令ωA＝ω，由于共轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω.所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.

(3)令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a.又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aC＝a.所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.

2．见解析

解析　如右图所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg和向上的支持力FN1，合力提供向心力即Fn1＝FN1－mg；在最高点时，飞行员受向下的重力mg和向下的压力FN2，合力提供向心力即Fn2＝FN2＋mg.两个向心力大小相等且Fn＝Fn1＝Fn2＝

在最低点：FN1－mg＝，则FN1＝＋mg

解得：＝＋1＝2

在最高点：FN2＋mg＝，则FN2＝－mg

解得：＝－1＝0

即飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重力的两倍，飞至最高点时，飞行员对座椅无压力．

【课时效果检测】

1．B　[对物块进行受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，A错，B正确．根据向心力公式F＝mrω2可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘；根据向心力公式F＝mr()2可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，物块越容易脱离圆盘，C、D错误．]

2．B　[由于a、b和c三点是陀螺上的三个点，所以当陀螺转动时，三个点的角速度相同，选项B正确，C错误；根据v＝ωr，由于a、b、c三点的半径不同，ra＝rb>rc，所以有va＝vb>vc，选项A、D均错误．]

3．A　[由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与最大静摩擦力平衡，塑料管对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，故选项A正确，B错误；mg＝Ff＝μFN，FN＝mrω2，ω＝，故C错误；无论塑料管的转动速度增大多少，竖直方向上仍然受力平衡，螺丝帽不会发生相对运动，故选项D错误．]

4．BD　[两人旋转一周的时间相同，故两人的角速度相同，两人做圆周运动所需的向心力相同，由F＝mω2r可知，旋转半径满足：r甲∶r乙＝M乙∶M甲＝1∶2，

又r甲＋r乙＝0.9 m

则r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m

两人的角速度相同，则v甲∶v乙＝1∶2

由F＝M甲ω2r甲可得ω＝2 rad/s.故选项B、D正确．]

5．C　[由题意知RB＝2RA＝2RC，而vA＝vB，即ωARA＝ωBRB，ωA∶ωB＝RB∶RA＝2∶1，又有ωB＝ωC，由v＝ω·R，知vB＝2vC，故A、B、C三点线速度之比为2∶2∶1，角速度之比为2∶1∶1，因T＝，故周期之比为1∶2∶2，由a＝ω2R，可知向心加速度之比为(22×1)∶(12×2)∶(12×1)＝4∶2∶1，故选C.]

6．BD　[在释放前的瞬间绳拉力为零对M：FN1＝Mg

当摆球运动到最低点时，由机械能守恒得mgR＝①

由牛顿第二定律得：FT－mg＝②

由①②得绳对小球的拉力FT＝3mg

摆动过程中，支架始终不动，对支架M由受力平衡，地面支持力FN＝Mg＋3mg

由牛顿第三定律知，支架对地面的压力FN2＝3mg＋Mg，故选项B、D正确．]

7．D　[a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动，说明a、b两轮的线速度相等，即va＝vb，由v＝rω，ra∶rb＝1∶2，知ωa∶ωb＝2∶1，又因a轮与A盘同轴，b轮与B盘同轴，对应的角速度相等，即ωA∶ωB＝2∶1，又rA∶rB＝2∶1，再利用公式a＝rω2，得a1∶a2＝8∶1，D项正确．]

8．BCD　[绳b被烧断前，竖直方向合力为零，即Fa＝mg，烧断绳b后，因惯性，球要在竖直面内做圆周运动，且Fa′－mg＝m，所以Fa′>Fa，A错误，B正确；当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，而是在垂直于平面ABC的竖直平面内来回摆动，C正确；当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方最高点，从而做圆周运动，D正确．]

9．2 m/s　10 rad/s

解析　设细绳的拉力为F，对A：F＝m 对B：F＋FN＝Mg

解得A的速度大小　v＝2 m/s A的角速度大小为ω＝＝10 rad/s

10．(1)45 N　(2)5 m/s　(3)1.73 m

解析　(1)线的拉力等于向心力，设开始时角速度为ω0，转速为n0，向心力是F0，线断开前的瞬间，角速度为ω，转速为n，线的拉力是F.

F0＝mωR①

ω0＝2πn0②

F＝mω2R③

ω＝2πn④

由①②③④得＝＝2＝2＝⑤

又因为F＝F0＋40 N⑥

由⑤⑥得F＝45 N

(2)设线断开时，小球运动的线速度大小为v

由F＝得，v＝＝ m/s＝5 m/s

(3)设桌面高度为h，小球从离开桌面到落地经历的时间为t.

t＝＝0.4 s

则小球飞出后的落地点到桌边线的水平距离为

l＝v·sin 60°·t＝5××0.4 m＝ m＝1.73 m.

易错点评

1．在传动问题中要注意区分轴传动与带(或摩擦)传动两种情况．轴传动时，共轴各轮角速度相等；带(或摩擦)传动时，各轮边缘线速度相等．解题中应挖掘出这一隐含条件．

2．匀速圆周运动具有周期性，解题中要特别注意由周期性所引起的多解问题．

3．在变速圆周运动中，合力与合加速度都不指向圆心，向心力与向心加速度只是合力与合加速度的一个分量．

4．对于圆周运动中的临界问题，找到临界状态，列出临界条件下的平衡方程或牛顿第二定律方程是解题的关键．

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