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第3节洛伦兹力的应用

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第3节洛伦兹力的应用

1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径与粒子的运动速度成正比，与粒子质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，即r＝。

2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，运动周期与质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，与轨道半径和运动速率无关，即T＝。

3．回旋加速器的电场周期和粒子运动周期相同。

4．质谱仪把比荷不相等的粒子分开，并按比荷顺序的大小排列，故称之为“质谱”。

带电粒子在磁场中的运动

1．洛伦兹力不对粒子做功

洛伦兹力它不改变粒子的速度大小，只改变粒子的运动方向。

2．实验探究

(1)实验装置：洛伦兹力演示仪，如图6－3－1所示。

(2)实验原理：玻璃泡内的电子枪(即阴极)发射出阴极射线，使泡内的低压汞蒸气发出辉光，这样就可显示出电子的轨迹。

(3)实验现象：

①当没有磁场作用时，电子的运动轨迹是直线。图6－3－1

②当电子垂直射入磁场时，电子的运动轨迹是曲线。

③当电子斜射入磁场时，电子的运动轨迹是螺旋线。

3．带电粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动

(1)运动性质：匀速圆周运动。

(2)向心力：由洛伦兹力提供。

(3)半径：r＝mv/Bq。

(4)周期：T＝2πm/Bq，由周期公式可知带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，而与运动半径和运动速率无关。

解决匀速圆周运动问题的基本思路

(1)圆心的确定：

带电粒子进入一个有界磁场后的轨迹是一段圆弧，如何确定圆心是解决此类问题的前提，也是解题的关键。一个最基本的思路是：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，举例如下：

①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图6－3－2所示，图中P为入射点，M为出射点)。

图6－3－2

②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图6－3－3所示，P为入射点，M为出射点)。

图6－3－3

(2)运动半径的确定：

画出入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形，求出半径的大小。

(3)运动时间的确定：

由t＝T确定通过某段圆弧所用的时间，其中T为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间越长。

(4)几个有关的角及其关系：

如图6－3－4所示，粒子做匀速圆周运动时，φ为粒子速度的偏向角，粒子与圆心的连线转过的角度α为回旋角(或圆心角)，AB弦与切线的夹角θ为弦切角，它们的关系为：φ＝α＝2θ，θ与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝180°。

图6－3－4

1.三个质子分别以大小相等、方向如图6－3－5所示的初速度v1、v2和v3经过平板MN上的小孔O射入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，整个装置放在真空中，且各质子不计重力。这三个质子打到平板MN上的位置到小孔O的距离分别是s1、s2和s3，则(　　) 图6－3－5

A．s1<s2<s3

B．s1>s2>s3

C．s1＝s2>s3

D．s1＝s3<s2

解析：三个质子以同样大小的速度垂直射入匀强磁场时，由牛顿第二定律，知qvB＝，故其做圆周运动的半径R＝相等，它们做圆周运动的轨迹分别如图所示，由于v2垂直于MN，所以质子2在磁场中逆时针转过半周后打在O点的左方平板MN上的某处，距O点的距离s2为半径R的2倍，即s2＝2R；质子1逆时针转过小于半圆周的一段圆弧到O点左方某处，质子3逆时针转过大于半圆周的一段圆弧到O点左方某处打到平板MN上，由质子1与3进入磁场的速度方向与MN夹角均为θ及圆周运动的半径相等可知，两质子打到MN上的位置相同，得到s1＝s3，所以s1＝s3<s2，所以D正确。

答案：D

回旋加速器和质谱仪

1．回旋加速器

(1)主要构造：两个金属半圆空盒，两个大型电磁铁。

(2)原理图(如图6－3－6所示)

(3)工作原理：图6－3－6

①磁场作用：带电粒子垂直磁场方向射入磁场时，只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其周期与半径和速率无关。

②交变电压的作用：在两D形盒狭缝间产生周期性变化的电场，使带电粒子每经过一次狭缝加速一次。

③交变电压的周期(或频率)：与带电粒子在磁场中做圆周运动的周期(或频率)相同。

2．质谱仪

(1)功能：分析各化学元素的同位素并测量其质量、含量。

(2)原理图(如图6－3－7)：

图6－3－7

(3)工作原理：

带电粒子在电场中加速：Uq＝mv2。①

带电粒子在磁场中偏转：＝r，②

Bqv＝。③

由①②③得带电粒子的比荷：＝。

对回旋加速器的理解

(1)工作原理：

利用电场对带电粒子的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用来获得高能粒子，这些过程在回旋加速器的核心部件——两个D形盒和其间的窄缝内完成。

①磁场的作用。

带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其周期与速率、半径均无关(T＝)，带电粒子每次进入D形盒都运动相等的时间(半个周期)后平行电场方向进入电场中加速。

②电场的作用。

回旋加速器两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的并垂直于两D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。

③交变电压。

为保证带电粒子每次经过窄缝时都被加速，使之能量不断提高，需在窄缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压。

(2)带电粒子的最终能量：

当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由r＝得v＝，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Em＝。

可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径R。

2．图6－3－8是质谱仪的工作原理示意图。带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2。平板S下方有强度为B0的匀强磁场。下列表述错误的是(　　)

图6－3－8

A．质谱仪是分析同位素的重要工具

B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外

C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于E/B

D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小

解析：因同位素原子的化学性质完全相同，无法用化学方法进行分析，故质谱仪就成为同位素分析的重要工具，A正确。在速度选择器中，带电粒子所受电场力和洛伦兹力在粒子沿直线运动时应等大反向，结合左手定则可知B正确。再由qE＝qvB有v＝E/B，C正确。在匀强磁场B0中R＝，所以＝，D错误。

答案：D

轨道半径、周期的计算

[例1]　已知质子和α粒子的质量之比m1∶m2＝1∶4，电荷量之比q1∶q2＝1∶2，从静止开始经相同的电压加速后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动，则这两种粒子做圆周运动的动能之比Ek1∶Ek2＝________，轨道半径之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________。

[思路点拨]　首先根据动能定理求出带电粒子的动能及速度，然后利用带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律进行求解。

[解析]　粒子在电场中加速时只有电场力做功，由动能定理得

qU＝mv2

故Ek1∶Ek2＝q1U∶q2U＝q1∶q2＝1∶2

由qU＝mv2得v＝

设粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动，则有qvB＝m

轨道半径r＝＝

故r1∶r2＝ ∶＝1∶

粒子做圆周运动的周期T＝

故T1∶T2＝∶＝1∶2

[答案]　1∶2　1∶　1∶2

借题发挥

(1)由r＝知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，轨道半径跟其运动速率成正比，跟其比荷成反比。

(2)由T＝知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，运动周期跟轨道半径和运动速率均无关，仅与比荷成反比。

1．在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又垂直进入另一磁感应强度是原来的磁感应强度2倍的匀强磁场，则(　　)

A．粒子的速率加倍，周期减半

B．粒子的速率不变，轨道半径减半

C．粒子的速率减半，轨道半径为原来的四分之一

D．粒子的速率不变，周期不变

解析：洛伦兹力不改变带电粒子的速率，A、C错。由r＝、T＝知，磁感应强度加倍时，轨道半径和周期都减半，B正确。

答案：B

带电粒子在有界磁场中的运动问题

[例2]　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感

应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图6－3－9所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。图6－3－9

(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；

(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射角方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

[审题指导]　解决此题的关键有两点：

(1)根据题意确定带电粒子的圆心和轨迹。

(2)根据几何关系确定磁场区域圆半径和轨迹圆半径之间的定量关系。

[解析]　(1)由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入

，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r

又qvB＝m则粒子的比荷

＝

(2)粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60°角，故弧所对圆心角为60°，粒子做圆周运动的半径

R′＝r/tan30°＝r

又R′＝

所以B′＝B

粒子在磁场中飞行时间t＝T＝×＝

[答案]　(1)负电荷　　(2)B　

借题发挥

解答此类问题应明确：

(1)画出带电粒子的运动轨迹，确定做圆周运动的圆心及对应圆心角大小，由几何关系确定半径。

(2)粒子在磁场中的运动时间要根据粒子运动圆弧所对应的圆心角和粒子的运动周期共同决定。

(3)带电粒子由直线边界射入匀强磁场时，射入和射出时的角度具有对称性。对称性是建立几何关系的重要方法。

2．如图6－3－10所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量大小为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。图6－3－10

解析：当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC，对粒子，由于洛伦兹力提供向心力，则

qv0B＝m，R＝，

T＝

故粒子在磁场中的运动时间

t1＝T＝

粒子在C点离开磁场OC＝2R·sin60°＝

故离开磁场的位置为(－，0)

当带电粒子带负电时，轨迹如图中ODE所示，同理求得粒子在磁场中的运动时间t2＝T＝

离开磁场时的位置为(，0)

答案：　(－，0)或　(，0)

回旋加速器问题

[例3]　回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以使在盒间的窄缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速，两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为R，其运动轨迹图6－3－11

如图6－3－11所示。问：

(1)盒内有无电场？

(2)粒子在盒内做何种运动？

(3)所加交流电频率应是多大，粒子角速度为多大？

(4)粒子离开加速器时速度为多大，最大动能为多少？

[审题指导]　解题时应把握以下三点：

(1)回旋加速器的构造及工作原理。

(2)回旋加速器的工作条件。

(3)带电粒子在电场中的加速时间相对于在磁场中做圆周运动的时间可忽略不计。

[解析]　(1)D形盒由金属导体制成，D形盒可屏蔽外电场，盒内只有磁场而无电场。

(2)粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大。

(3)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交流电压频率要等于粒子回旋频率。

回旋频率f＝

角速度ω＝2πf＝。

(4)粒子最大回旋半径为R，由牛顿第二定律得

qvmB＝，

其最大速度：vm＝

故最大动能Ekm＝mvm2＝。

[答案]　(1)无电场　(2)见“解析”　(3)　

(4)　

借题发挥

在回旋加速器中粒子在电场中的运动是间断的，但由于粒子在间断期间处在磁场中做匀速圆周运动(速率不变)，所以处理时可以将粒子在电场中的间断运动连接起来，将其等效处理为初速度为零的匀加速运动，此种解法值得总结引用。在不同的实际应用中，带电粒子在复合场中的运动的处理方法都是相同的，一定要分清运动过程，受力分析要准确，才能解决实际的相关问题。由于带电粒子在加速过程中的时间极短，比做圆周运动的周期要小得多，一般也可将其加速时间忽略。

　上题中，若两个D形盒间电场的电势差为U，盒间距离为d，且为匀强电场，则加速到上述能量所用的时间是多少？

解析：粒子每旋转一周增加能量2qU。提高到Ekm的旋转次数n＝＝

在磁场中运动的时间

t磁＝nT＝·＝

若忽略粒子在电场中运动时间，t磁可视为总时间，若考虑粒子在电场中运动时间，在D形盒两窄缝间的运动可视为初速度为零的匀加速直线运动。

2n·d＝·t电2

所以t电＝。

将n＝代入得t电＝

所以，粒子在加速过程中的总时间

t总＝t电＋t磁＝，

通常t电?t磁(因为d?R)。

答案：(2d＋πR)

[随堂基础巩固]

1．电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)

A．速率越大，周期越大

B．速率越小，周期越大

C．速度方向与磁场方向平行

D．速度方向与磁场方向垂直

解析：由T＝知周期与速率v无关，A、B均错。运动方向与磁场方向垂直，C错D对。

答案：D

2．如图6－3－12所示的圆形区域内，匀强磁场方向垂直于纸面向里。有一束速率各不相同的质子自A点沿半径方向射入磁场，这些质子在磁场中(　　)

A．运动时间越长，其轨道对应的圆心角越大

B．运动时间越长，其轨道越长

C．运动时间越短，射出磁场区域时速度越小图6－3－12

D．运动时间越短，射出磁场区域时速度的偏向角越大

解析：质子的速度越小，运动半径越小，在磁场中运动的时间越长，轨迹对应的圆心角越大，但运动轨迹不一定长；同理，速度越大，半径越大，运动时间越短，速度的偏向角越小。故选项A正确。

答案：A

3.1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图6－3－13所示。这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是(　　)

①粒子由加速器的中心附近进入加速器

②粒子由加速器的边缘进入加速器图 6－3－13

③粒子从磁场中获得能量

④粒子从电场中获得能量

A．①③　　　　　　　　 B．①④

C．②③ D．②④

解析：回旋加速器对粒子加速时，粒子是由加速器的中心附近进入加速器的，故①正确，②错误；粒子在磁场中运动时，洛伦兹力不做功，所以粒子的能量不变，故③错误；D形盒D1、D2之间存在交变电场，当粒子通过交变电场时，电场力对粒子做正功，粒子的能量增加，所以粒子的能量是从电场中获得的，④正确。故应选B。

答案：B

4．质谱仪原理如图6－3－14所示，a为粒子加速器，电压为U1；b为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距离为d；c为偏转分离器，磁感应强度为B2。今有一质量为m、电荷量为e的正电子(不计重力)，经加速后，该粒子恰能通过速度选择器。粒子进入分离图6－3－14

器后做半径为R的匀速圆周运动。求：

(1)粒子的速度v；

(2)速度选择器的电压U2；

(3)粒子在B2磁场中做匀速圆周运动的半径R。

解析：(1)在a中，正电子被加速电场U1加速，由动能定理得eU1＝mv2得v＝。

(2)在b中，正电子受到的电场力和洛伦兹力大小相等，即

e＝evB1，代入v值得U2＝dB1 。

(3)在c中，正电子受洛伦兹力作用而做圆周运动，回转半径R＝，代入v值得R＝。

答案：(1) 　(2)B1d 　(3)

[课时跟踪训练]

(满分50分　时间30分钟)

一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)

1．图1是科学史上一张著名的实验照片，显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹。云室放置在匀强磁场中，磁场方向垂直照片向里。云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用。分析此径迹可知粒子(　　) 图1

A．带正电，由下往上运动

B．带正电，由上往下运动

C．带负电，由上往下运动

D．带负电，由下往上运动

解析：从照片上看，径迹的轨道半径是不同的，下部半径大，上部半径小，根据半径公式r＝可知，下部速度大，上部速度小，则一定是粒子从下到上穿越了金属板，再根据左手定则，可知粒子带正电，因此，正确的选项是A。

答案：A

2．如图2所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一个氢核从ad边中点m沿着既垂直于ad边，又垂直于磁场方向以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场。若将磁场的磁感应强度变为原来的2倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是(　　) 图2

A．在b、n之间某点

B．在n、a之间某点

C．a点

D．在a、m之间某点

解析：因为氢核是一带正电微粒，不计重力，在匀强磁场中做匀速圆周运动，由左手定则知其向上偏转。因为正好从n点射出，则可知其运行轨迹为1/4圆周。当磁感应强度B变为原来的2倍时，由半径公式r＝可知，其半径变为原来的，即射出位置为a点，故C选项正确。

答案：C

3．如图3所示，在x＞0，y＞0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子，在x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场。不计重力的影响。由这些条件可知(　　) 图3

A．不能确定粒子通过y轴时的位置

B．不能确定粒子速度的大小

C．不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间

D．以上三个判断都不对

解析：垂直于x轴进入磁场，垂直于y轴离开磁场，由此可确定粒子运动的轨迹是四分之一个圆周，故选项A、B、C都能确定，只能选D。

答案：D

4．如图4所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负的是(　　) 图4

A.，正电荷 B.，正电荷

C.，负电荷 D.，负电荷

解析：

由题中带电粒子穿过y轴正半轴可知粒子所带电荷的电性为负，根据题目含义画出轨迹图如图所示，又有粒子在磁场中到x轴的最大距离为a，满足关系式：

r＋rsin30°＝a，可得：r＝a，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供粒子做匀速圆周运动的向心力。即r＝，解得＝，故选项C正确。

答案：C

5．粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电，让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直纸面向里。图5的四个图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是(　　)

图5

解析：由半径公式r＝得＝·＝2，故粒子甲的轨迹为大圆，粒子乙的轨迹为小圆，再由左手定则判知A正确，B、C、D都错。

答案：A

6.如图6所示，有a、b、c、d四个离子，它们带等量同种电荷，质量不等，有ma＝mb＜mc＝md，以不等的速率va＜vb＝vc＜vd进入速度选择器后，有两种离子从速度选择器中射出，进入B2磁场，由此可判定(　　) 图6

A．射向P1的是a离子 B．射向P2的是b离子

C．射到A1的是c离子 D．射到A2的是d离子

解析：由题意知，射出速度选择器的是b、c两种离子；又由速度选择器原理：qvB1＝qE，得：当v0＝的离子才能射出P1P2空间，当v＜v0＝时，电场力大于洛伦兹力，离子将射到P1板，故到达P1的是速度最小的a离子，A正确；射向P2的是d离子，B错误。又由r＝得r∝m，又mb＜mc，故到达A1的是b离子，到达A2的是c离子。

答案：A

7．经过回旋加速器加速后，带电粒子获得的动能(　　)

A．与D形盒的半径无关

B．与高频电源的电压无关

C．与两D形盒间的缝隙宽度无关

D．与匀强磁场的磁感应强度无关

解析：由r＝，得v＝，①

又Ek＝mv2②

由①②得Ek＝，由Ek的表达式得Ek与电压U和缝隙宽度d均无关，故选B、C。

答案：BC

8.如图7所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负粒子(质量相同)以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负粒子在磁场中运动时间之比为(　　) 图7

A．1∶2 B．2∶1

C．1∶ D．1∶1

解析：作出轨迹，找出轨迹所对圆心角是解题的关键，如图所示。t1＝T＝·，t2＝T＝·，

所以t2∶t1＝2∶1，即B选项正确。

答案：B

二、非选择题(本题共2小题，共18分)

9．(8分)如图8所示，一束电子(电荷量为e)以速度v垂直射入磁感应强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是______，穿过磁场的时间是________。

图8

解析：电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为F⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力指向交点上，如图所示的O点，由几何知识可知，AC间圆心角θ＝30°，OC为半径。

所以r＝＝2d

又由r＝得m＝

又因为AC间圆心角是30°

所以时间t＝T，故t＝×＝。

答案：　

10．(10分)质量为m、电荷量为q的带负电粒子自静止开始，经M、N板间的电场加速后，从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，该粒子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图9所示。已知M、N两板间的电压为U，粒子的重力不计。

图9

(1)正确画出粒子由静止开始至离开匀强磁场时的轨迹图(用直尺和圆规规范作图)；

(2)求匀强磁场的磁感应强度B。

解析：(1)作出粒子经过电场和磁场的运动轨迹图如图所示。

(2)设粒子在M、N两板间经电场加速后获得的速度为v，由动能定理得：

qU＝mv2①

粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r，则：

qvB＝m②

由几何关系得：r2＝(r－L)2＋d2③

联立①②③式解得：

B＝。

答案：(1)见解析

(2)

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